問題は2つあります。 問題1: $A, B, C, D$ を $m$ 次正方行列とし、$A$ を正則行列とするとき、 $$ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I_m & -A^{-1}B \\ 0_{m} & I_m \end{bmatrix} $$ を計算せよ。ここで $I_m$ は $m$ 次の単位行列、$0_{m}$ は $m$ 次の零行列を表します。また、 $$ \begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B| $$ を示せ。 問題2: 次の行列が正則でなくなるような $x$ の値を求めよ。 $$ \begin{bmatrix} 1 & x & 2x & 0 \\ x & 1 & 0 & 2x \\ 2x & 0 & 1 & x \\ 0 & 2x & x & 1 \end{bmatrix} $$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1: $A, B, C, D$ を $m$ 次正方行列とし、$A$ を正則行列とするとき、

$$$$

\begin{bmatrix}

A & B \\

C & D

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

I_m & -A^{-1}B \\

0_{m} & I_m

\end{bmatrix}

$$$$

を計算せよ。ここで $I_m$ は $m$ 次の単位行列、$0_{m}$ は $m$ 次の零行列を表します。また、

$$$$

\begin{vmatrix}

A & B \\

C & D

\end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|

$$$$

を示せ。

問題2: 次の行列が正則でなくなるような $x$ の値を求めよ。

$$$$

\begin{bmatrix}

1 & x & 2x & 0 \\

x & 1 & 0 & 2x \\

2x & 0 & 1 & x \\

0 & 2x & x & 1

\end{bmatrix}

$$$$

2. 解き方の手順

問題1(i): 行列の積を計算します。

$$$$

\begin{bmatrix}

A & B \\

C & D

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

I_m & -A^{-1}B \\

0_{m} & I_m

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

A \cdot I_m + B \cdot 0_m & A \cdot (-A^{-1}B) + B \cdot I_m \\

C \cdot I_m + D \cdot 0_m & C \cdot (-A^{-1}B) + D \cdot I_m

\end{bmatrix}

$$$$

$$$$

=

\begin{bmatrix}

A & -B + B \\

C & D - CA^{-1}B

\end{bmatrix}

=

\begin{bmatrix}

A & 0 \\

C & D - CA^{-1}B

\end{bmatrix}

$$$$

問題1(ii): 行列式を計算します。

$$$$

\begin{vmatrix}

A & B \\

C & D

\end{vmatrix}

= \begin{vmatrix}

A & 0 \\

C & D - CA^{-1}B

\end{vmatrix} \cdot

\begin{vmatrix}

I_m & A^{-1}B \\

0_{m} & I_m

\end{vmatrix} = |A||D - CA^{-1}B||I_m| = |A||D - CA^{-1}B|

$$$$

問題2: 与えられた行列の行列式を計算し、それが0になるような $x$ の値を求めます。

行列式を計算します。

$$$$

\begin{vmatrix}

1 & x & 2x & 0 \\

x & 1 & 0 & 2x \\

2x & 0 & 1 & x \\

0 & 2x & x & 1

\end{vmatrix}

$$$$

この行列式を計算すると、

$1 - 6x^2 + 5x^4$ となります。

$1 - 6x^2 + 5x^4 = 0$ を解きます。

$5x^4 - 6x^2 + 1 = 0$

$(5x^2 - 1)(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$ or $x^2 = \frac{1}{5}$

$x = \pm 1$ or $x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

3. 最終的な答え

問題1(i):

$$$$

\begin{bmatrix}

A & 0 \\

C & D - CA^{-1}B

\end{bmatrix}

$$$$

問題1(ii):

$$$$

\begin{vmatrix}

A & B \\

C & D

\end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|

$$$$

問題2:

$x = \pm 1, \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$