2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a-2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を $g(x)$ とします。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、$a = 3$ のとき、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(3) $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + 7$ を平方完成します。

$f(x) = (x^2 - 4x) + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

よって、$y = f(x)$ のグラフの頂点の座標は $(2, 3)$ です。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $a - 2$, $y$ 軸方向に $-5$ だけ平行移動したグラフは $y = g(x)$ で表されるので、

$g(x) = f(x - (a - 2)) - 5 = (x - (a - 2) - 2)^2 + 3 - 5 = (x - a)^2 - 2$

よって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(a, -2)$ です。

$a = 3$ のとき、$g(x) = (x - 3)^2 - 2$ です。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

$g(x)$ は $x = 3$ で最小値 $-2$ をとります。

$g(0) = (0 - 3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$

$g(4) = (4 - 3)^2 - 2 = 1 - 2 = -1$

したがって、$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値は $7$, 最小値は $-2$ です。

(3) $g(x) = (x - a)^2 - 2$

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値を $M$, 最小値を $m$ とするとき、$M - 2m = 9$ となるような $a$ の値を求めます。

頂点の $x$ 座標が $a$ であることに注意して、$a$ の範囲で場合分けをします。

(i) $0 \le a \le 4$ のとき、$g(x)$ は $x = a$ で最小値 $m = -2$ をとります。

$M$ は $g(0) = a^2 - 2$ または $g(4) = (4 - a)^2 - 2$ のどちらか大きい方です。

$g(0) - g(4) = a^2 - (4 - a)^2 = a^2 - (16 - 8a + a^2) = 8a - 16$

$g(0) > g(4)$ となるのは $8a - 16 > 0$, すなわち $a > 2$ のときです。

$a \le 2$ のとき、$M = (4 - a)^2 - 2$ なので、$M - 2m = (4 - a)^2 - 2 - 2(-2) = (4 - a)^2 + 2 = 9$

$(4 - a)^2 = 7$ より、$4 - a = \pm \sqrt{7}$

$a = 4 \pm \sqrt{7}$

$a \le 2$ より、$a = 4 - \sqrt{7}$

$a > 2$ のとき、$M = a^2 - 2$ なので、$M - 2m = a^2 - 2 - 2(-2) = a^2 + 2 = 9$

$a^2 = 7$ より、$a = \pm \sqrt{7}$

$a > 2$ より、$a = \sqrt{7}$

(ii) $a < 0$ のとき、$g(x)$ は $x = 4$ で最小値 $m = (4 - a)^2 - 2$ をとります。

また、$x = 0$ で最大値 $M = a^2 - 2$ をとります。

$M - 2m = a^2 - 2 - 2((4 - a)^2 - 2) = a^2 - 2 - 2(16 - 8a + a^2) + 4 = a^2 - 2 - 32 + 16a - 2a^2 + 4 = -a^2 + 16a - 30 = 9$

$a^2 - 16a + 39 = 0$

$(a - 3)(a - 13) = 0$

$a = 3, 13$

これは $a < 0$ を満たさないので不適。

(iii) $a > 4$ のとき、$g(x)$ は $x = 0$ で最小値 $m = a^2 - 2$ をとります。

また、$x = 4$ で最大値 $M = (4 - a)^2 - 2$ をとります。

$M - 2m = (4 - a)^2 - 2 - 2(a^2 - 2) = 16 - 8a + a^2 - 2 - 2a^2 + 4 = -a^2 - 8a + 18 = 9$

$a^2 + 8a - 9 = 0$

$(a + 9)(a - 1) = 0$

$a = -9, 1$

これは $a > 4$ を満たさないので不適。

以上より、$a = 4 - \sqrt{7}, \sqrt{7}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, 3)$

(2) 頂点の座標: $(a, -2)$, 最大値: $7$, 最小値: $-2$

(3) $a = 4 - \sqrt{7}, \sqrt{7}$