与えられた3つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ (2) $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$ (3) $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$

(2) $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$

(3) $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}$ の場合：

1. 固有方程式を求める：

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - 4 = 0$

$\lambda^2 + \lambda - 6 = 0$

2. 固有値を求める：

$(\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

$\lambda_1 = -3, \lambda_2 = 2$

3. 固有ベクトルを求める：

- $\lambda_1 = -3$ のとき：

$\begin{bmatrix} 1-(-3) & 2 \\ 2 & -2-(-3) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

- $\lambda_2 = 2$ のとき：

$\begin{bmatrix} 1-2 & 2 \\ 2 & -2-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-x + 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

(2) 行列 $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 4 \end{bmatrix}$ の場合：

1. 固有方程式を求める：

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\det \begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 6 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (3-\lambda)(4-\lambda) - 6 = 0$

$\lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0$

2. 固有値を求める：

$(\lambda - 1)(\lambda - 6) = 0$

$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 6$

3. 固有ベクトルを求める：

- $\lambda_1 = 1$ のとき：

$\begin{bmatrix} 3-1 & 1 \\ 6 & 4-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

- $\lambda_2 = 6$ のとき：

$\begin{bmatrix} 3-6 & 1 \\ 6 & 4-6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 6 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-3x + y = 0 \Rightarrow y = 3x$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

(3) 行列 $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ の場合：

1. 固有方程式を求める：

$\det(A - \lambda I) = 0$

$\det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 4 \\ 3 & 6-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(6-\lambda) - 12 = 0$

$\lambda^2 - 8\lambda = 0$

2. 固有値を求める：

$\lambda(\lambda - 8) = 0$

$\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 8$

3. 固有ベクトルを求める：

- $\lambda_1 = 0$ のとき：

$\begin{bmatrix} 2-0 & 4 \\ 3 & 6-0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$2x + 4y = 0 \Rightarrow x = -2y$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

- $\lambda_2 = 8$ のとき：

$\begin{bmatrix} 2-8 & 4 \\ 3 & 6-8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-6x + 4y = 0 \Rightarrow 3x = 2y \Rightarrow y = \frac{3}{2}x$

固有ベクトルは $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ （またはその定数倍）

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = -3$, $\lambda_2 = 2$, 固有ベクトル: $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

(2) 固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 6$, 固有ベクトル: $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix}$

(3) 固有値: $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 8$, 固有ベクトル: $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$