実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 2$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。 $f(x)$ のグラフは頂点が (1, 3) で、直線 $x = 1$ を軸にもつ放物線 $C$ である。直線 $x=1$ が区間 $a \le x \le a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$M(a)$ を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 2$ ($a \le x \le a+1$) の最大値を $M(a)$ とする。

$f(x)$ のグラフは頂点が (1, 3) で、直線 $x = 1$ を軸にもつ放物線 $C$ である。直線 $x=1$ が区間 $a \le x \le a+1$ に含まれるか否かで場合分けして、$M(a)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 2 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = -(x-1)^2 + 1 + 2 = -(x-1)^2 + 3$

頂点は $(1, 3)$ 、軸は $x = 1$ です。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $[a, a+1]$ が $x=1$ より左側にあるので、$f(x)$ は $x=a+1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1-1)^2 + 3 = -a^2 + 3$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

軸 $x=1$ が区間 $[a, a+1]$ に含まれるので、$f(x)$ は $x=1$ で最大値をとります。

$M(a) = f(1) = 3$

(iii) $a > 1$ のとき

区間 $[a, a+1]$ が $x=1$ より右側にあるので、$f(x)$ は $x=a$ で最大値をとります。

$M(a) = f(a) = -(a-1)^2 + 3 = -(a^2 - 2a + 1) + 3 = -a^2 + 2a + 2$

次に場合分けの条件を求めます。

軸 $x=1$ が区間 $[a, a+1]$ に含まれるとき、$a \le 1 \le a+1$ となります。

$a \le 1$ かつ $0 \le a$ となるので、$0 \le a \le 1$ です。

したがって、$a < 0$ のとき、 $0 \le a \le 1$ のとき、$a > 1$ のとき、の３つの場合に分けられます。

(i) $a < 0$ のとき

$M(a) = -a^2 + 3$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

$M(a) = 3$

(iii) $a > 1$ のとき

$M(a) = -a^2 + 2a + 2$

3. 最終的な答え

ア: (1, 3)

イ: 1

ウ: 0

エ: -1

オ: 0

カ: 3

キ: 1

ク: 0

ケ: 0

コ: 3

ク: -1

ケ: 2

コ: 2

(i) $a < 0$ のとき

$M(a) = -1a^2 + 0a + 3$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

$M(a) = 0a^2 + 0a + 3$

(iii) $a > 1$ のとき

$M(a) = -1a^2 + 2a + 2$