与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (2) 初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, 漸化式 $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ (3) 初期条件 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, 漸化式 $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$

1. 問題の内容

与えられた漸化式と初期条件から、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(2) 初期条件 $a_1 = 1$, $a_2 = 5$, 漸化式 $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$

(3) 初期条件 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, 漸化式 $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$

2. 解き方の手順

(2) の場合:

特性方程式を立てます。漸化式 $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ に対して、特性方程式は次のようになります。

$x^2 - 5x + 6 = 0$

この方程式を解きます。

$(x-2)(x-3) = 0$

$x = 2, 3$

よって、一般項は $a_n = A(2^n) + B(3^n)$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 1$ と $a_2 = 5$ を用いて、定数 A と B を決定します。

$a_1 = 2A + 3B = 1$

$a_2 = 4A + 9B = 5$

この連立方程式を解きます。

上の式を2倍すると $4A + 6B = 2$ となります。

下の式からこの式を引くと $3B = 3$, よって $B = 1$

$2A + 3(1) = 1$, より $2A = -2$, よって $A = -1$

したがって、$a_n = -2^n + 3^n$

(3) の場合:

特性方程式を立てます。漸化式 $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$ に対して、特性方程式は次のようになります。

$x^2 - 6x + 9 = 0$

この方程式を解きます。

$(x-3)^2 = 0$

$x = 3$ (重解)

よって、一般項は $a_n = (A + Bn)3^n$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 2$ と $a_2 = 3$ を用いて、定数 A と B を決定します。

$a_1 = (A + B)3 = 2$

$a_2 = (A + 2B)9 = 3$

この連立方程式を解きます。

$A + B = \frac{2}{3}$

$A + 2B = \frac{1}{3}$

下の式から上の式を引くと $B = -\frac{1}{3}$

$A - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, より $A = 1$

したがって、$a_n = (1 - \frac{1}{3}n)3^n = (1 - \frac{n}{3})3^n = (\frac{3-n}{3})3^n = (3-n)3^{n-1}$

3. 最終的な答え

(2) $a_n = -2^n + 3^n$

(3) $a_n = (3-n)3^{n-1}$