複素数 $z = 2 + i$ が与えられている。複素数平面上の3点O(0), A(z), B($z^{-1}$)を頂点とする三角形OABの面積を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z = 2 + i$ が与えられている。複素数平面上の3点O(0), A(z), B($z^{-1}$)を頂点とする三角形OABの面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z^{-1}$ を計算する。

$z = 2 + i$ なので、

$$z^{-1} = \frac{1}{2 + i} = \frac{2 - i}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{2 - i}{4 - i^2} = \frac{2 - i}{4 - (-1)} = \frac{2 - i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$$

次に、三角形OABの面積を求める。O(0,0), A(2,1), B(2/5, -1/5)を頂点とする三角形の面積Sは、以下の公式で計算できる。

$$S = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A|$$

ここで、$x_A = 2$, $y_A = 1$, $x_B = \frac{2}{5}$, $y_B = -\frac{1}{5}$。

したがって、

$$S = \frac{1}{2} |2(-\frac{1}{5}) - \frac{2}{5}(1)| = \frac{1}{2} |-\frac{2}{5} - \frac{2}{5}| = \frac{1}{2} |-\frac{4}{5}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$$

3. 最終的な答え

三角形OABの面積は$\frac{2}{5}$。