直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形の斜辺の長さの最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が12である直角三角形の斜辺の長さの最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $x$、$y$ とします。斜辺の長さを $z$ とすると、問題文より以下の式が成り立ちます。

$x + y = 12$

また、三平方の定理より、

$x^2 + y^2 = z^2$

$y = 12 - x$ を $x^2 + y^2 = z^2$ に代入すると、

$x^2 + (12-x)^2 = z^2$

$x^2 + 144 - 24x + x^2 = z^2$

$2x^2 - 24x + 144 = z^2$

$z^2$ を最小にする $x$ を求めるために、平方完成を行います。

$z^2 = 2(x^2 - 12x) + 144$

$z^2 = 2(x^2 - 12x + 36 - 36) + 144$

$z^2 = 2((x - 6)^2 - 36) + 144$

$z^2 = 2(x - 6)^2 - 72 + 144$

$z^2 = 2(x - 6)^2 + 72$

$z^2$ が最小となるのは $(x - 6)^2 = 0$ のとき、つまり $x = 6$ のときです。

このとき $y = 12 - x = 12 - 6 = 6$ となり、

$z^2 = 2(0) + 72 = 72$

$z = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{2}$