ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に平行で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ に平行で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、直線の方向ベクトルを $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ とします。また、直線上の一点 $(x_0, y_0) = (1, 2)$ が与えられています。

直線上の任意の点 $(x, y)$ は、パラメータ $t$ を用いて次のように表すことができます。

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t \vec{v}$

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3t \\ 2 + 2t \end{pmatrix}$

よって、$x = 1 + 3t$ および $y = 2 + 2t$ となります。

パラメータ $t$ を消去するために、$x$ と $y$ の式から $t$ を求めます。

$x = 1 + 3t$ より、$3t = x - 1$ なので、$t = \frac{x - 1}{3}$ となります。

$y = 2 + 2t$ より、$2t = y - 2$ なので、$t = \frac{y - 2}{2}$ となります。

これら2つの $t$ の式が等しいので、

$\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{2}$

両辺に6を掛けて、

$2(x - 1) = 3(y - 2)$

$2x - 2 = 3y - 6$

$2x - 3y + 4 = 0$

3. 最終的な答え

$2x - 3y + 4 = 0$