三角形ABCにおいて、辺BC上に点D, Eがあり、BD=1cm, DE=2cm, EC=1cmである。Eを通りADに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。ADとBFの交点をGとするとき、AD:GDを求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC上に点D, Eがあり、BD=1cm, DE=2cm, EC=1cmである。Eを通りADに平行な直線と辺ACとの交点をFとする。ADとBFの交点をGとするとき、AD:GDを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、EFとADが平行であることから、相似な三角形を見つけます。

△ADEと△CFEにおいて、

$\angle ADE = \angle CFE$ （同位角）

$\angle DAE = \angle FCE$ （錯角）

したがって、△ADE∽△CFE

また、$\frac{AD}{FE}=\frac{DE}{EC}=\frac{2}{1}=2$なので、$AD=2FE$となる。

次に、△ADGと△FEGに着目する。

$\angle DAG = \angle EFG$ （錯角）

$\angle ADG = \angle FEG$ （錯角）

よって、△ADG∽△FEG

したがって、$\frac{AD}{FE} = \frac{DG}{EG}$

$\frac{AD}{FE} = 2$なので、$\frac{DG}{EG}=2$、すなわち$DG=2EG$となる。

ここで、$AD:GD$の比を求める。

$AD=2FE$であり、$DG=2EG$なので、

$AD:GD = 2FE:2EG = FE:EG$

次に、メネラウスの定理を用いる。△BCEと直線ADにおいて

$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CA}{AF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{CA}{AF} \cdot \frac{FE}{EB} = 1$

$\frac{CA}{AF} = \frac{3EB}{FE}$

△ACDと直線BFにおいて

$\frac{CB}{BD} \cdot \frac{DG}{GA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{DG}{GA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{DG}{GA} = \frac{FC}{4AF}$

また、$\frac{FE}{AD} = \frac{CE}{CD} = \frac{1}{3}$より、$AD=3FE$。先ほどの$AD=2FE$と異なるので、相似な三角形の対応関係を見直す必要がある。

△CFE∽△CADより、$\frac{CF}{CA} = \frac{CE}{CD} = \frac{FE}{AD} = \frac{1}{3}$。よって、$CA = 3CF$、$AD=3FE$。

$\frac{AD}{GD} = \frac{3FE}{GD}$を求める。

△BFDに直線AGを通すと、メネラウスの定理より

$\frac{BG}{GF} \cdot \frac{FE}{ED} \cdot \frac{DA}{AB} = 1$

ここで、再度△ADG∽△FEGを用いる。

$\frac{AD}{FE} = \frac{DG}{GE}$。

$AD : GD = 3 : x$とおくと、$FE : GE = 1 : \frac{x}{3}$

$\triangle BDEと直線AFを見ると、メネラウスの定理より。

$\frac{BA}{AG}*\frac{GD}{DE}*\frac{EF}{FB}=1$

△ADGと△EGFが相似であるから、AD:GD = FE:GE。

また、AD= 3FEであるから、3FE : GD = FE : GE より、GD = 3GE。よって、AD:GD = 3FE : 3GE = FE:GE = 3:1。

3. 最終的な答え

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