台形ABCDがあり、$AB=6$ cm、$CD=3$ cm、$DA=4$ cm、$\angle B = \angle C = 90^\circ$である。この台形を辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

台形ABCDがあり、$AB=6$ cm、$CD=3$ cm、$DA=4$ cm、$\angle B = \angle C = 90^\circ$である。この台形を辺DCを軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

台形ABCDを辺DCを軸として1回転させると、底面の半径がAB=6cm、高さがDC=3cmの円柱から、底面の半径がBCの長さ、高さがDC=3cmの円錐を引いたものができます。

まず、BCの長さを求める。点AからCDに垂線を下ろし、その交点をEとする。すると、四角形ABCEは長方形になるので、$BC = AE$となる。

また、$DE = CD - CE = CD - AB = 6 - 3 = 3$ cmとなる。

直角三角形ADEにおいて、三平方の定理より、

$AE^2 + DE^2 = AD^2$

$AE^2 + 3^2 = 4^2$

$AE^2 = 16 - 9 = 7$

$AE = \sqrt{7}$

よって、$BC = \sqrt{7}$cm

円柱の体積は$V_{円柱} = \pi (AB)^2 (DC) = \pi (6^2) (3) = 108\pi$

円錐の体積は$V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi (BC)^2 (DC) = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{7})^2 (3) = 7\pi$

求める立体の体積は$V = V_{円柱} - V_{円錐} = 108\pi - 7\pi = 101\pi$

3. 最終的な答え

$101 \pi$ cm$^3$