三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP、辺CAの中点をQ、辺ABを1:2に内分する点をRとする。 (1) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明する。 (2) PQ:QRを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に外分する点をP、辺CAの中点をQ、辺ABを1:2に内分する点をRとする。

(1) 3点P, Q, Rが一直線上にあることを証明する。

(2) PQ:QRを求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルを用いて証明する。始点をAとする。

$\vec{AP}$, $\vec{AQ}$, $\vec{AR}$をそれぞれ$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

点Pは辺BCを2:1に外分するので、

$\vec{AP} = \frac{-1\vec{AB} + 2\vec{AC}}{2-1} = -\vec{AB} + 2\vec{AC}$

点Qは辺CAの中点なので、

$\vec{AQ} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

点Rは辺ABを1:2に内分するので、

$\vec{AR} = \frac{2\vec{AB}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AC} - (-\vec{AB} + 2\vec{AC}) = \vec{AB} - \frac{3}{2}\vec{AC}$

$\vec{QR} = \vec{AR} - \vec{AQ} = \frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC}$

ここで、$\vec{PQ}=k\vec{QR}$となる実数kが存在すれば、3点P, Q, Rは一直線上にある。

$\vec{AB} - \frac{3}{2}\vec{AC} = k(\frac{1}{3}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC})$

$\vec{AB} - \frac{3}{2}\vec{AC} = \frac{k}{3}\vec{AB} - \frac{k}{2}\vec{AC}$

$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は一次独立なので、

$1 = \frac{k}{3}$かつ$-\frac{3}{2} = -\frac{k}{2}$

したがって、$k=3$。

よって、$\vec{PQ} = 3\vec{QR}$となり、3点P, Q, Rは一直線上にある。

(2) (1)より、$\vec{PQ} = 3\vec{QR}$なので、PQ:QR = 3:1

3. 最終的な答え

(1) 3点P, Q, Rは一直線上にある（証明終わり）

(2) PQ:QR = 3:1