(1) ベクトル $(3, 2)$ に垂直で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。 (2) ベクトル $(3, 2)$ に平行で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

はい、承知しました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $(3, 2)$ に垂直で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

(2) ベクトル $(3, 2)$ に平行で、点 $(1, 2)$ を通る直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 求める直線の法線ベクトルは $(3, 2)$ である。

* 直線上の点を $(x, y)$ とすると、位置ベクトルは $\vec{p} = (x, y)$ と表せる。

* 与えられた点 $(1, 2)$ の位置ベクトルを $\vec{p_0} = (1, 2)$ とする。

* 求める直線上の任意の点 $(x, y)$ に対して、ベクトル $\vec{p} - \vec{p_0} = (x - 1, y - 2)$ は、法線ベクトル $(3, 2)$ と垂直である。

* したがって、内積は0となる: $(x - 1, y - 2) \cdot (3, 2) = 0$

* これを展開して整理する。

$3(x - 1) + 2(y - 2) = 0$

$3x - 3 + 2y - 4 = 0$

$3x + 2y - 7 = 0$

(2)

* 求める直線の方向ベクトルは $(3, 2)$ である。

* 直線上の点を $(x, y)$ とすると、位置ベクトルは $\vec{p} = (x, y)$ と表せる。

* 与えられた点 $(1, 2)$ の位置ベクトルを $\vec{p_0} = (1, 2)$ とする。

* 求める直線上の任意の点 $(x, y)$ に対して、ベクトル $\vec{p} - \vec{p_0} = (x - 1, y - 2)$ は、方向ベクトル $(3, 2)$ と平行である。

* よって、$\vec{p} - \vec{p_0} = t(3, 2)$ （$t$は実数）と表せる。

$(x-1, y-2) = t(3, 2) = (3t, 2t)$

$x - 1 = 3t$

$y - 2 = 2t$

* $t$を消去する。

* $t = (x - 1) / 3 = (y - 2) / 2$

$2(x - 1) = 3(y - 2)$

$2x - 2 = 3y - 6$

$2x - 3y + 4 = 0$

$2x - 3y = -4$

3. 最終的な答え

(1) $3x + 2y - 7 = 0$

(2) $2x - 3y = -4$