点Qが与えられた条件で動くとき、点Aと点Qを結ぶ線分をある比率で内分する点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 点Qが直線 $y=x+3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めます。 (2) 点Qが円 $x^2+(y-2)^2=1$ 上を動くとき、点A(3, 0)とQを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点Qが与えられた条件で動くとき、点Aと点Qを結ぶ線分をある比率で内分する点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 点Qが直線 $y=x+3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めます。

(2) 点Qが円 $x^2+(y-2)^2=1$ 上を動くとき、点A(3, 0)とQを結ぶ線分AQの中点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を(x, y)、点Qの座標を(s, t)とおきます。点Qは直線 $y=x+3$ 上にあるので、$t=s+3$が成り立ちます。

点Pは線分AQを1:2に内分するので、内分点の公式より、

$x = \frac{2*4 + 1*s}{1+2} = \frac{8+s}{3}$

$y = \frac{2*1 + 1*t}{1+2} = \frac{2+t}{3}$

これをsとtについて解くと、

$s = 3x - 8$

$t = 3y - 2$

$t=s+3$に代入すると、

$3y - 2 = 3x - 8 + 3$

$3y - 2 = 3x - 5$

$3y = 3x - 3$

$y = x - 1$

(2)

点Pの座標を(x, y)、点Qの座標を(s, t)とおきます。点Qは円 $x^2+(y-2)^2=1$ 上にあるので、$s^2+(t-2)^2=1$が成り立ちます。

点Pは線分AQの中点なので、

$x = \frac{3+s}{2}$

$y = \frac{0+t}{2}$

これをsとtについて解くと、

$s = 2x - 3$

$t = 2y$

$s^2+(t-2)^2=1$に代入すると、

$(2x-3)^2 + (2y-2)^2 = 1$

$(2x-3)^2 + 4(y-1)^2 = 1$

$4(x - \frac{3}{2})^2 + 4(y-1)^2 = 1$

$(x - \frac{3}{2})^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x - 1$

(2) $(x - \frac{3}{2})^2 + (y-1)^2 = \frac{1}{4}$