2つの円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$ と $(x-3)^2 + (y+1)^2 = r^2$ が接するとき、定数 $r$ の値を求めます。ただし、$r > 0$ とします。

1. 問題の内容

2つの円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$ と $(x-3)^2 + (y+1)^2 = r^2$ が接するとき、定数 $r$ の値を求めます。ただし、$r > 0$ とします。

2. 解き方の手順

2つの円が接するとき、中心間の距離は、2つの円の半径の和または差に等しくなります。

円 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$ の中心は $(-1, 2)$ で、半径は $\sqrt{4} = 2$ です。

円 $(x-3)^2 + (y+1)^2 = r^2$ の中心は $(3, -1)$ で、半径は $\sqrt{r^2} = r$ です（$r>0$ より）。

2つの中心間の距離 $d$ は、

$d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{(3+1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4^2 + 9} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

2つの円が外接する場合、中心間の距離は半径の和に等しくなります。

$5 = 2 + r$

$r = 5 - 2 = 3$

2つの円が内接する場合、中心間の距離は半径の差の絶対値に等しくなります。

$5 = |2 - r|$

$2 - r = 5$ または $2 - r = -5$

$r = 2 - 5 = -3$ または $r = 2 + 5 = 7$

ただし、$r > 0$ より、$r = -3$ は不適。したがって、$r = 7$ です。

したがって、$r$ の値は3または7となります。

3. 最終的な答え

r = 3, 7