与えられた点を通る、与えられた円に接する直線の方程式と、接点の座標を求める問題です。 (1) 点 $(1, -2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。 (2) 点 $(5, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。

1. 問題の内容

与えられた点を通る、与えられた円に接する直線の方程式と、接点の座標を求める問題です。

(1) 点 $(1, -2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。

(2) 点 $(5, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(1, -2)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。

点 $(1, -2)$ は円 $x^2 + y^2 = 1$ の外部の点です。接線の方程式を $y = m(x - 1) - 2$ とおきます。これを円の方程式に代入して、$x$ についての二次方程式を作り、判別式 $D = 0$ となるように $m$ を求めます。

$x^2 + (m(x-1) - 2)^2 = 1$

$x^2 + (mx - m - 2)^2 = 1$

$x^2 + m^2x^2 + m^2 + 4 - 2m^2x - 4mx + 4m = 1$

$(1 + m^2)x^2 - (2m^2 + 4m)x + m^2 + 4m + 3 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (2m^2 + 4m)^2 - 4(1 + m^2)(m^2 + 4m + 3) = 0$

$4m^4 + 16m^3 + 16m^2 - 4(m^2 + 4m + 3 + m^4 + 4m^3 + 3m^2) = 0$

$4m^4 + 16m^3 + 16m^2 - 4m^2 - 16m - 12 - 4m^4 - 16m^3 - 12m^2 = 0$

$-16m + 0 = 0$

これは明らかに計算ミスです。

別の方法で計算します。

点 $(1,-2)$ を通る直線で $x^2+y^2=1$ に接する直線を求める。

まず、$x^2+y^2=1$ 上の点を $(x_1,y_1)$ とおくと接線の方程式は、$x_1x+y_1y=1$と表される。

この直線が点$(1,-2)$ を通るので

$x_1-2y_1=1$

$x_1=2y_1+1$

また、$(x_1,y_1)$ は $x^2+y^2=1$ 上の点であるので、

$(2y_1+1)^2+y_1^2=1$

$4y_1^2+4y_1+1+y_1^2=1$

$5y_1^2+4y_1=0$

$y_1(5y_1+4)=0$

$y_1=0, -4/5$

$y_1=0$のとき、$x_1=1$。接線の方程式は $x=1$。

$y_1=-4/5$のとき、$x_1=1-8/5=-3/5$。接線の方程式は $-3/5 x-4/5 y=1$ つまり、$3x+4y=-5$

(2) 点 $(5, 1)$ を通り、円 $x^2 + y^2 = 13$ に接する直線の方程式と接点の座標を求めます。

円 $x^2 + y^2 = 13$ 上の点を $(x_1, y_1)$ とすると、接線の方程式は $x_1 x + y_1 y = 13$ と表されます。

この直線が点 $(5, 1)$ を通るので、$5x_1 + y_1 = 13$ つまり、$y_1 = 13 - 5x_1$

また、$(x_1, y_1)$ は円上の点なので、$x_1^2 + y_1^2 = 13$

$x_1^2 + (13 - 5x_1)^2 = 13$

$x_1^2 + 169 - 130x_1 + 25x_1^2 = 13$

$26x_1^2 - 130x_1 + 156 = 0$

$x_1^2 - 5x_1 + 6 = 0$

$(x_1 - 2)(x_1 - 3) = 0$

$x_1 = 2, 3$

$x_1 = 2$ のとき、$y_1 = 13 - 5(2) = 3$

$x_1 = 3$ のとき、$y_1 = 13 - 5(3) = -2$

接線の方程式は、

$2x + 3y = 13$

$3x - 2y = 13$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $x=1$, $3x+4y=-5$

接点の座標: $(1, 0)$, $(-3/5, -4/5)$

(2) 接線の方程式: $2x + 3y = 13$, $3x - 2y = 13$

接点の座標: $(2, 3)$, $(3, -2)$