(1) 中心が $(3,0)$ で、直線 $4x-3y-2=0$ に接する円の方程式を求める。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ に接する傾き 2 の直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(3,0)$ で、直線 $4x-3y-2=0$ に接する円の方程式を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 4$ に接する傾き 2 の直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円の方程式は、中心 $(3,0)$ で半径を $r$ とすると、

$(x-3)^2 + y^2 = r^2$ と表せる。

円が直線 $4x-3y-2=0$ に接するので、中心 $(3,0)$ と直線 $4x-3y-2=0$ の距離が半径 $r$ に等しい。

点と直線の距離の公式より、

$r = \frac{|4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 - 2|}{\sqrt{16+9}} = \frac{10}{5} = 2$

よって、$r^2 = 4$

したがって、求める円の方程式は $(x-3)^2 + y^2 = 4$

(2)

円 $x^2 + y^2 = 4$ は中心 $(0,0)$ で半径 2 の円である。

傾き 2 の接線の方程式を $y = 2x + k$ とおく。

円の中心 $(0,0)$ と直線 $2x - y + k = 0$ の距離が半径 2 に等しいので、

$\frac{|2 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = 2$

$|k| = 2\sqrt{5}$

$k = \pm 2\sqrt{5}$

したがって、求める直線の方程式は $y = 2x \pm 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $(x-3)^2 + y^2 = 4$

(2) $y = 2x + 2\sqrt{5}$ と $y = 2x - 2\sqrt{5}$