二つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0$ について、以下の問題を解きます。 (1) 二つの円の交点と点 (4, 3) を通る円の方程式を求めます。 (2) 二つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。 (3) 二つの円の交点の座標を求めます。

1. 問題の内容

二つの円 $x^2 + y^2 = 5$ と $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0$ について、以下の問題を解きます。

(1) 二つの円の交点と点 (4, 3) を通る円の方程式を求めます。

(2) 二つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。

(3) 二つの円の交点の座標を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 二つの円の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて、

$x^2 + y^2 - 5 + k(x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7) = 0$ と表せます。

この円が点 (4, 3) を通るので、代入すると

$4^2 + 3^2 - 5 + k(4^2 + 3^2 + 4(4) - 4(3) + 7) = 0$

$16 + 9 - 5 + k(16 + 9 + 16 - 12 + 7) = 0$

$20 + k(36) = 0$

$k = -\frac{20}{36} = -\frac{5}{9}$

よって求める円の方程式は

$x^2 + y^2 - 5 - \frac{5}{9}(x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7) = 0$

$9(x^2 + y^2 - 5) - 5(x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7) = 0$

$9x^2 + 9y^2 - 45 - 5x^2 - 5y^2 - 20x + 20y - 35 = 0$

$4x^2 + 4y^2 - 20x + 20y - 80 = 0$

$x^2 + y^2 - 5x + 5y - 20 = 0$

(2) 二つの円の交点を通る直線の方程式は $k = -1$ の場合です。

$x^2 + y^2 - 5 - (x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7) = 0$

$-4x + 4y - 12 = 0$

$4x - 4y + 12 = 0$

$x - y + 3 = 0$

(3) 二つの円の交点を求めるには、連立方程式を解きます。

$x^2 + y^2 = 5$

$x^2 + y^2 + 4x - 4y + 7 = 0$

第二式から第一式を引くと

$4x - 4y + 12 = 0$

$x - y + 3 = 0$

$y = x + 3$

これを $x^2 + y^2 = 5$ に代入すると

$x^2 + (x+3)^2 = 5$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 5$

$2x^2 + 6x + 4 = 0$

$x^2 + 3x + 2 = 0$

$(x+1)(x+2) = 0$

$x = -1, -2$

$x = -1$ のとき $y = -1 + 3 = 2$

$x = -2$ のとき $y = -2 + 3 = 1$

交点の座標は (-1, 2) と (-2, 1)

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 - 5x + 5y - 20 = 0$

(2) $x - y + 3 = 0$

(3) (-1, 2), (-2, 1)