2点A(1, 0)とB(6, 0)からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(1, 0)とB(6, 0)からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(1, 0)と点P(x, y)の距離PAは、

$PA = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

点B(6, 0)と点P(x, y)の距離PBは、

$PB = \sqrt{(x-6)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

問題文より、PA:PB = 2:3であるから、

$\frac{PA}{PB} = \frac{2}{3}$

$3PA = 2PB$

$3\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-6)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$9((x-1)^2 + y^2) = 4((x-6)^2 + y^2)$

$9(x^2 - 2x + 1 + y^2) = 4(x^2 - 12x + 36 + y^2)$

$9x^2 - 18x + 9 + 9y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$

$5x^2 + 30x + 5y^2 - 135 = 0$

両辺を5で割って、

$x^2 + 6x + y^2 - 27 = 0$

平方完成して、

$(x^2 + 6x + 9) + y^2 = 27 + 9$

$(x + 3)^2 + y^2 = 36$

これは、中心(-3, 0)、半径6の円の方程式です。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心(-3, 0)、半径6の円である。

$(x + 3)^2 + y^2 = 36$