画像の問題は2つあります。 (1) 2点 $(4, -5)$ を直径の両端とする円の方程式を求める。 (2) 3点 $(4, -1), (6, 3), (-3, 0)$ を通る円の方程式を求める。 (3) 円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点$(4,y)$のy座標を求める。

幾何学円の方程式座標
2025/7/3

1. 問題の内容

画像の問題は2つあります。
(1) 2点 (4,5)(4, -5) を直径の両端とする円の方程式を求める。
(2) 3点 (4,1),(6,3),(3,0)(4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求める。
(3) 円 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 上の点(4,y)(4,y)のy座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 (4,5)(4, -5) を直径の両端とする円の方程式を求める。
直径の両端がわかっているので、円の中心は2点の中点となる。円の中心を(x0,y0)(x_0, y_0)とすると、
x0=4+(5)2=12x_0 = \frac{4 + (-5)}{2} = -\frac{1}{2}
y0=4+(5)2=12y_0 = \frac{4 + (-5)}{2} = -\frac{1}{2}
円の中心は(12,12)(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})となる。
円の半径rrは中心と端点の距離なので、
r=(4(12))2+(4(12))2=(92)2+(92)2=2814=922r = \sqrt{(4 - (-\frac{1}{2}))^2 + (4 - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (\frac{9}{2})^2} = \sqrt{2 \cdot \frac{81}{4}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}
円の方程式は
(x+12)2+(y+12)2=(922)2(x+\frac{1}{2})^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = (\frac{9\sqrt{2}}{2})^2
(x+12)2+(y+12)2=812(x+\frac{1}{2})^2 + (y+\frac{1}{2})^2 = \frac{81}{2}
x2+x+14+y2+y+14=812x^2 + x + \frac{1}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} = \frac{81}{2}
x2+y2+x+y=81212=40x^2 + y^2 + x + y = \frac{81}{2} - \frac{1}{2} = 40
(2) 3点 (4,1),(6,3),(3,0)(4, -1), (6, 3), (-3, 0) を通る円の方程式を求める。
円の方程式を x2+y2+ax+by+c=0x^2 + y^2 + ax + by + c = 0 とおく。3点の座標を代入すると、
42+(1)2+4ab+c=017+4ab+c=04^2 + (-1)^2 + 4a - b + c = 0 \Rightarrow 17 + 4a - b + c = 0
62+32+6a+3b+c=045+6a+3b+c=06^2 + 3^2 + 6a + 3b + c = 0 \Rightarrow 45 + 6a + 3b + c = 0
(3)2+023a+0b+c=093a+c=0(-3)^2 + 0^2 - 3a + 0b + c = 0 \Rightarrow 9 - 3a + c = 0
3つの式を整理すると、
4ab+c=174a - b + c = -17
6a+3b+c=456a + 3b + c = -45
3a+c=9-3a + c = -9
3つ目の式から c=3a9c = 3a - 9 を得る。これを最初の2つの式に代入すると、
4ab+3a9=177ab=84a - b + 3a - 9 = -17 \Rightarrow 7a - b = -8
6a+3b+3a9=459a+3b=363a+b=126a + 3b + 3a - 9 = -45 \Rightarrow 9a + 3b = -36 \Rightarrow 3a + b = -12
2つの式を足すと、
10a=20a=210a = -20 \Rightarrow a = -2
3(2)+b=12b=63(-2) + b = -12 \Rightarrow b = -6
c=3(2)9=15c = 3(-2) - 9 = -15
したがって、円の方程式は x2+y22x6y15=0x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0
(3) 円 x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 上の点(4,y)(4,y)のy座標を求める。
x=4x=4x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 に代入すると、
42+y2=254^2 + y^2 = 25
16+y2=2516 + y^2 = 25
y2=9y^2 = 9
y=±3y = \pm 3

3. 最終的な答え

(1) x2+y2+x+y=40x^2 + y^2 + x + y = 40
(2) x2+y22x6y15=0x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0
(3) y=±3y = \pm 3

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