点Pの軌跡を求める問題です。 (1) 2点A(-1, 0), B(1, 4)から等距離にある点Pの軌跡を求めます。 (2) 3点A(0, 0), B(3, 0), C(0, 5)に対して、$2AP^2 = BP^2 + CP^2$となる点Pの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

点Pの軌跡を求める問題です。

(1) 2点A(-1, 0), B(1, 4)から等距離にある点Pの軌跡を求めます。

(2) 3点A(0, 0), B(3, 0), C(0, 5)に対して、$2AP^2 = BP^2 + CP^2$となる点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を(x, y)とします。

AP = BPより、$AP^2 = BP^2$が成り立ちます。

$AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2$

$AP^2 = BP^2$より、

$(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + (y-4)^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16$

$2x = -2x - 8y + 16$

$4x + 8y - 16 = 0$

$x + 2y - 4 = 0$

$x + 2y = 4$

(2)

点Pの座標を(x, y)とします。

$AP^2 = x^2 + y^2$

$BP^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x-3)^2 + y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$CP^2 = (x-0)^2 + (y-5)^2 = x^2 + (y-5)^2 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

条件$2AP^2 = BP^2 + CP^2$より、

$2(x^2 + y^2) = (x^2 - 6x + 9 + y^2) + (x^2 + y^2 - 10y + 25)$

$2x^2 + 2y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 6x - 10y + 34$

$0 = -6x - 10y + 34$

$6x + 10y = 34$

$3x + 5y = 17$

3. 最終的な答え

(1) $x + 2y = 4$

(2) $3x + 5y = 17$