$270^\circ < \theta < 360^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -\sqrt{5}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$270^\circ < \theta < 360^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -\sqrt{5}$ であるとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$270^\circ < \theta < 360^\circ$ より、$\theta$ は第4象限の角であることがわかります。

第4象限では、$\cos \theta > 0$ かつ $\sin \theta < 0$ です。

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ であるから、$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta$ が成り立ちます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(\tan \theta \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$(\tan^2 \theta + 1) \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1}$

$\tan \theta = -\sqrt{5}$ なので、

$\cos^2 \theta = \frac{1}{(-\sqrt{5})^2 + 1} = \frac{1}{5+1} = \frac{1}{6}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{6}} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\cos \theta > 0$ より、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\sin \theta = \tan \theta \cos \theta = (-\sqrt{5}) (\frac{\sqrt{6}}{6}) = -\frac{\sqrt{30}}{6}$

$\theta$ は第4象限の角なので、$\sin \theta < 0$ となり、これは条件を満たしています。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{30}}{6}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{6}$