ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (-3, 6)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。 1. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 2. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (-3, 6)$ が与えられたとき、以下のものを求めます。

1. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

2. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$

2. 解き方の手順

1. 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-3) + (-1)(6)$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -9 - 6$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$

2. ベクトルの大きさの計算

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

3. $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の計算

内積の定義より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ が成り立ちます。

したがって、$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

$\cos{\theta} = \frac{-15}{\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5}}$

$\cos{\theta} = \frac{-15}{3\sqrt{50}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \arccos{(-\frac{1}{\sqrt{2}})}$

$\theta = \frac{3}{4}\pi$ または $\theta = 135^\circ$

3. 最終的な答え

1. 内積: $\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$

2. なす角: $\theta = \frac{3}{4}\pi$