## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた図における、$x$と$y$の値を求める問題です。図は2つあり、それぞれ(1)と(2)に分かれています。

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2. 解き方の手順

### (1) の場合

図(1)は三角形ABCとその内接円が描かれています。三角形の各辺と内接円の接点までの距離が一部与えられており、それらを利用してxを求めます。

三角形の内接円の性質として、各頂点から接点までの距離は等しいというものがあります。

* 点Aから円の接点までの距離は7です。

* 点Bから円の接点までの距離は8です。

* 点Cから円の接点までの距離はxとします。

このとき、

AC = 9 = 7 + x - 7

BC = 8 = 8 + x -8

AB = 7 = 7 + 8 - 8

したがって、

$x = 9 -7 = 2$となります。

### (2) の場合

図(2)は、2つの円が接しており、直線がそれらの円に接している図です。点Cを中心とする円の半径は10で、点Aを中心とする円の半径はxです。点Pから円Aへの接線の長さは15です。CDは円Cの接線で長さyです。角ADBと角PABは直角です。

まず、$\triangle PAB$に着目します。$PA=15$、$AB=x$です。$PB$は2つの円の中心間の距離の和になります。

次に、$\triangle PCD$に着目します。$PC = 10+x$、$CD = y$、$PD = PA + AD$です。

ここで、点AからCDに対して垂線を下ろし、その交点をEとします。すると、四角形AEDBは長方形になるので、$AE = BD = y$、$ED = AB = x$となります。したがって、$CE = 10 - x$となります。

直角三角形CAEにおいて、三平方の定理より、

$AC^2 = AE^2 + CE^2$

$(10+x)^2 = y^2 + (10-x)^2$

$100+20x+x^2 = y^2 + 100-20x+x^2$

$y^2 = 40x$

また、直角三角形PABにおいて、$PB^2 = PA^2 + AB^2$。

図から、$x$と$y$は正の値であると判断できます。

次に、$\triangle CDP$に着目します。$CD = y$であり、$CP=10+x$です。

したがって、三平方の定理より、$DP^2 + y^2 = (10+x)^2$。

また、$AP=15$、$AD=y$であるため、$DP=15+AD = 15$。

$\triangle CDE$において、$CD = y$, $CE = 10 -x$、$DE = 2\sqrt{15}$。

$DP^2 = (15)^2 = 225$なので、$225+y^2 = (10+x)^2$。

$\triangle PAB$に着目すると、$AP = 15$、$AB=x$で$BP$は二つの円の半径の和であるから、$PB = 10 + x$となります。

したがって、$\triangle PAB$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$PA^2 + AB^2 = PB^2$

$15^2 + x^2 = (10+x)^2$

$225 + x^2 = 100 + 20x + x^2$

$125 = 20x$

$x = 125/20 = 25/4 = 6.25$

次に、$y$を求めます。$y^2 = 40x$より、$y^2 = 40(25/4) = 250$

したがって、$y = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$

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3. 最終的な答え

(1) $x=2$

(2) $x = 6.25$, $y = 5\sqrt{10}$