円と直線の交点の座標を求める問題です。2つの問題があります。 (1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の交点の座標を求める。 (2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の交点の座標を求める。

1. 問題の内容

円と直線の交点の座標を求める問題です。2つの問題があります。

(1) 円 $x^2 + y^2 = 25$ と直線 $y = x + 1$ の交点の座標を求める。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 8$ と直線 $x + y = 4$ の交点の座標を求める。

2. 解き方の手順

円と直線の交点の座標は、円の方程式と直線の方程式を連立させて解くことで求められます。

(1)

$y = x + 1$ を $x^2 + y^2 = 25$ に代入すると、

$x^2 + (x + 1)^2 = 25$

$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$

$2x^2 + 2x - 24 = 0$

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

$x = -4$ のとき、$y = -4 + 1 = -3$

$x = 3$ のとき、$y = 3 + 1 = 4$

したがって、交点の座標は $(-4, -3)$ と $(3, 4)$ です。

(2)

$y = 4 - x$ を $x^2 + y^2 = 8$ に代入すると、

$x^2 + (4 - x)^2 = 8$

$x^2 + 16 - 8x + x^2 = 8$

$2x^2 - 8x + 8 = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

$x = 2$ のとき、$y = 4 - 2 = 2$

したがって、交点の座標は $(2, 2)$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(-4, -3)$, $(3, 4)$

(2) $(2, 2)$