(1) 方程式 $x^2 + y^2 + 5x - 3y + 6 = 0$ はどのような図形を表すか。 (2) 方程式 $x^2 + y^2 + 6px - 2py + 28p + 6 = 0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 方程式 $x^2 + y^2 + 5x - 3y + 6 = 0$ はどのような図形を表すか。

(2) 方程式 $x^2 + y^2 + 6px - 2py + 28p + 6 = 0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた方程式を平方完成することで、円の方程式の形に変形する。

$x^2 + 5x + y^2 - 3y + 6 = 0$

$(x + \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 6 = 0$

$(x + \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{9}{4} - 6$

$(x + \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{34}{4} - \frac{24}{4}$

$(x + \frac{5}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

これは、中心が $(-\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ で、半径が $\sqrt{\frac{5}{2}}$ の円である。

(2) 与えられた方程式を平方完成することで、円の方程式の形に変形する。

$x^2 + 6px + y^2 - 2py + 28p + 6 = 0$

$(x + 3p)^2 - (3p)^2 + (y - p)^2 - p^2 + 28p + 6 = 0$

$(x + 3p)^2 + (y - p)^2 = 9p^2 + p^2 - 28p - 6$

$(x + 3p)^2 + (y - p)^2 = 10p^2 - 28p - 6$

この方程式が円を表すためには、右辺が正である必要がある。

$10p^2 - 28p - 6 > 0$

$5p^2 - 14p - 3 > 0$

$(5p + 1)(p - 3) > 0$

したがって、$p < -\frac{1}{5}$ または $p > 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) 中心が $(-\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$ で、半径が $\sqrt{\frac{5}{2}}$ の円。

(2) $p < -\frac{1}{5}$ または $p > 3$