$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $M$ とし、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とし、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{OP}$ および $\vec{OQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $1:2$ に内分する点を $M$ とし、辺 $OB$ を $3:2$ に内分する点を $N$ とする。線分 $AN$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とし、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおくとき、$\vec{OP}$ および $\vec{OQ}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AN$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OA} + s\vec{ON}$

と表せる。問題文より $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{ON} = \frac{3}{5}\vec{b}$ であるから、

$\vec{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{3}{5}s\vec{b}$ ... (1)

次に、点 $P$ が線分 $BM$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = t\vec{OM} + (1-t)\vec{OB}$

と表せる。問題文より $\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ であるから、

$\vec{OP} = \frac{1}{3}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ ... (2)

(1)と(2)の係数を比較して、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{1}{3}t$ かつ $\frac{3}{5}s = 1-t$

これを解くと、

$s = \frac{5}{8}, t = \frac{9}{8}$

よって

$\vec{OP} = (1-\frac{5}{8})\vec{a} + \frac{3}{5}\cdot \frac{5}{8}\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b} = \frac{3}{8}(\vec{a} + \vec{b})$

次に、点 $Q$ が直線 $OP$ 上にあることから、実数 $k$ を用いて

$\vec{OQ} = k\vec{OP} = \frac{3}{8}k(\vec{a} + \vec{b})$

また、点 $Q$ は辺 $AB$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて

$\vec{OQ} = (1-u)\vec{OA} + u\vec{OB} = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

したがって、

$\frac{3}{8}k(\vec{a} + \vec{b}) = (1-u)\vec{a} + u\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$\frac{3}{8}k = 1-u$ かつ $\frac{3}{8}k = u$

これを解くと、

$\frac{3}{8}k = 1-\frac{3}{8}k$

$\frac{6}{8}k = 1$

$k = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$\vec{OQ} = \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{3} (\vec{a}+\vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{3}{8}\vec{b}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$