原点O、点A(2, 6)、第2象限の点Bがある。三角形OABは$\angle AOB$を頂角とする二等辺三角形であり、$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$であるとき、点Bの座標を求めよ。

はい、承知いたしました。問題10を解いていきます。

1. 問題の内容

原点O、点A(2, 6)、第2象限の点Bがある。三角形OABは$\angle AOB$を頂角とする二等辺三角形であり、$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$であるとき、点Bの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点Bの座標を$(x, y)$とする。二等辺三角形OABであることから、$OA = OB$が成り立つ。また、$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$である。

まず、$OA$の長さを求める。

$OA = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

したがって、$OB = OA = 2\sqrt{10}$である。

$OB = \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{10}$より、

$x^2 + y^2 = 40$　… (1)

次に、$\angle AOB = \frac{\pi}{6}$という条件を使う。

ベクトル$\vec{OA} = (2, 6)$、ベクトル$\vec{OB} = (x, y)$の内積を考える。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\frac{\pi}{6}}$

$2x + 6y = 2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$

$x + 3y = 10\sqrt{3}$

$x = 10\sqrt{3} - 3y$ … (2)

(2)を(1)に代入する。

$(10\sqrt{3} - 3y)^2 + y^2 = 40$

$300 - 60\sqrt{3}y + 9y^2 + y^2 = 40$

$10y^2 - 60\sqrt{3}y + 260 = 0$

$y^2 - 6\sqrt{3}y + 26 = 0$

解の公式より、

$y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{(6\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 26}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 - 104}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6\sqrt{3} \pm 2}{2} = 3\sqrt{3} \pm 1$

$y = 3\sqrt{3} + 1$のとき、

$x = 10\sqrt{3} - 3(3\sqrt{3} + 1) = 10\sqrt{3} - 9\sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - 3$

$y = 3\sqrt{3} - 1$のとき、

$x = 10\sqrt{3} - 3(3\sqrt{3} - 1) = 10\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + 3 = \sqrt{3} + 3$

点Bは第2象限にあるので、$x < 0$かつ$y > 0$を満たす必要がある。

$x = \sqrt{3} - 3$の場合、$x \approx 1.732 - 3 = -1.268 < 0$、$y = 3\sqrt{3} + 1 > 0$なので条件を満たす。

$x = \sqrt{3} + 3$の場合、$x > 0$なので条件を満たさない。

よって、点Bの座標は$(\sqrt{3} - 3, 3\sqrt{3} + 1)$

3. 最終的な答え

$(\sqrt{3} - 3, 3\sqrt{3} + 1)$