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平面上の三角形OABと任意の点Pに対して、以下の2つのベクトル方程式が円を表す。それぞれどのような円か求める問題です。 (1) $|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5$ (2) $\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}$

幾何学ベクトル円ベクトル方程式内分点図形
2025/7/2

1. 問題の内容

平面上の三角形OABと任意の点Pに対して、以下の2つのベクトル方程式が円を表す。それぞれどのような円か求める問題です。
(1) ∣3OA⃗+2OB⃗−5OP⃗∣=5|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5
(2) OP⃗⋅(OP⃗−AB⃗)=OA⃗⋅OB⃗\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}

2. 解き方の手順

(1)
まず、OP⃗\vec{OP}について解きます。
∣3OA⃗+2OB⃗−5OP⃗∣=5|3\vec{OA} + 2\vec{OB} - 5\vec{OP}| = 5
∣5(3OA⃗+2OB⃗5−OP⃗)∣=5|5(\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP})| = 5
5∣3OA⃗+2OB⃗5−OP⃗∣=55|\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP}| = 5
∣3OA⃗+2OB⃗5−OP⃗∣=1|\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5} - \vec{OP}| = 1
点CをOC⃗=3OA⃗+2OB⃗5\vec{OC} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}と定義すると、
∣OC⃗−OP⃗∣=1|\vec{OC} - \vec{OP}| = 1
∣CP⃗∣=1|\vec{CP}| = 1
これは、点Cを中心とし、半径1の円を表します。
点Cは線分ABを2:3に内分する点です。
(2)
OP⃗⋅(OP⃗−AB⃗)=OA⃗⋅OB⃗\vec{OP} \cdot (\vec{OP} - \vec{AB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}
OP⃗⋅OP⃗−OP⃗⋅AB⃗=OA⃗⋅OB⃗\vec{OP} \cdot \vec{OP} - \vec{OP} \cdot \vec{AB} = \vec{OA} \cdot \vec{OB}
∣OP⃗∣2−OP⃗⋅(OB⃗−OA⃗)=OA⃗⋅OB⃗|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot (\vec{OB} - \vec{OA}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}
∣OP⃗∣2−OP⃗⋅OB⃗+OP⃗⋅OA⃗=OA⃗⋅OB⃗|\vec{OP}|^2 - \vec{OP} \cdot \vec{OB} + \vec{OP} \cdot \vec{OA} = \vec{OA} \cdot \vec{OB}
∣OP⃗∣2+OP⃗⋅(OA⃗−OB⃗)=OA⃗⋅OB⃗|\vec{OP}|^2 + \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) = \vec{OA} \cdot \vec{OB}
∣OP⃗∣2+OP⃗⋅(OA⃗−OB⃗)+14∣OA⃗−OB⃗∣2=OA⃗⋅OB⃗+14∣OA⃗−OB⃗∣2|\vec{OP}|^2 + \vec{OP} \cdot (\vec{OA} - \vec{OB}) + \frac{1}{4}|\vec{OA} - \vec{OB}|^2 = \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{4}|\vec{OA} - \vec{OB}|^2
(OP⃗+OA⃗−OB⃗2)2=OA⃗⋅OB⃗+14(∣OA⃗∣2+∣OB⃗∣2−2OA⃗⋅OB⃗)(\vec{OP} + \frac{\vec{OA} - \vec{OB}}{2})^2 = \vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{1}{4}(|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 - 2\vec{OA} \cdot \vec{OB})
(OP⃗−OB⃗−OA⃗2)2=14(∣OA⃗∣2+∣OB⃗∣2+2OA⃗⋅OB⃗)(\vec{OP} - \frac{\vec{OB} - \vec{OA}}{2})^2 = \frac{1}{4}(|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA} \cdot \vec{OB})
(OP⃗−OB⃗+OA⃗2+OA⃗−OB⃗2)2=14(∣OA⃗+OB⃗∣2)=∣OA⃗+OB⃗2∣2(\vec{OP} - \frac{\vec{OB} + \vec{OA}}{2} + \frac{\vec{OA} - \vec{OB}}{2})^2 = \frac{1}{4}(|\vec{OA} + \vec{OB}|^2) = |\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|^2
点MをOM⃗=OA⃗+OB⃗2\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}と定義すると、
∣OP⃗−OM⃗∣2=∣OA⃗+OB⃗2∣2|\vec{OP} - \vec{OM}|^2 = |\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|^2
∣MP⃗∣2=∣OA⃗+OB⃗2∣2|\vec{MP}|^2 = |\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|^2
∣MP⃗∣=∣OA⃗+OB⃗2∣|\vec{MP}| = |\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|
これは、線分ABの中点Mを中心とし、半径が∣OA⃗+OB⃗2∣|\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 線分ABを2:3に内分する点を中心とし、半径1の円。
(2) 線分ABの中点を中心とし、半径が∣OA⃗+OB⃗2∣|\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}|の円。

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