直角を挟む2辺の長さの和が10である直角三角形において、斜辺の長さが最小となるときの斜辺の長さを求める。

1. 問題の内容

直角を挟む2辺の長さの和が10である直角三角形において、斜辺の長さが最小となるときの斜辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

直角を挟む2辺の長さをそれぞれ $a$ と $b$ とします。斜辺の長さを $c$ とします。

問題文より、$a + b = 10$ が与えられています。

三平方の定理より、$a^2 + b^2 = c^2$ が成り立ちます。

$b = 10 - a$ を $a^2 + b^2 = c^2$ に代入すると、

$a^2 + (10 - a)^2 = c^2$

$a^2 + 100 - 20a + a^2 = c^2$

$2a^2 - 20a + 100 = c^2$

$c^2$ が最小となる $a$ を求めるために、$2a^2 - 20a + 100$ を平方完成します。

$2(a^2 - 10a) + 100 = 2(a^2 - 10a + 25 - 25) + 100 = 2((a-5)^2 - 25) + 100 = 2(a-5)^2 - 50 + 100 = 2(a-5)^2 + 50$

$2(a-5)^2 + 50$ は $a=5$ のとき最小値50を取ります。したがって、$c^2$ が最小となるのは $a=5$ のときです。

このとき、$b = 10 - a = 10 - 5 = 5$ となります。

$c^2 = 50$ より、$c = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$5\sqrt{2}$