三角形ABCがあり、その頂点の位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$です。辺BCを3:2に内分する点をD、辺CAを3:2に内分する点をE、辺ABを3:2に内分する点をFとします。三角形DEFの重心をGとします。 (1) 点Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表してください。 (2) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ が成り立つことを示してください。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、その頂点の位置ベクトルはそれぞれ$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$です。辺BCを3:2に内分する点をD、辺CAを3:2に内分する点をE、辺ABを3:2に内分する点をFとします。三角形DEFの重心をGとします。

(1) 点Gの位置ベクトル$\vec{g}$を$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表してください。

(2) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ が成り立つことを示してください。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点D、E、Fの位置ベクトルを求めます。内分点の公式を使うと、次のようになります。

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{3+2} = \frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5}$

$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{3+2} = \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5}$

$\vec{f} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

次に、三角形DEFの重心Gの位置ベクトル$\vec{g}$を求めます。重心は各頂点の位置ベクトルの平均なので、

$\vec{g} = \frac{\vec{d} + \vec{e} + \vec{f}}{3} = \frac{1}{3} \left(\frac{2\vec{b} + 3\vec{c}}{5} + \frac{2\vec{c} + 3\vec{a}}{5} + \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}\right)$

$\vec{g} = \frac{1}{15}(5\vec{a} + 5\vec{b} + 5\vec{c})$

$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

(2)

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = (\vec{a} - \vec{g}) + (\vec{b} - \vec{g}) + (\vec{c} - \vec{g}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{g}$

$\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$を代入すると、

$\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3 \cdot \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{g} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$

(2) $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$