直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ 上のx座標が3である点Pを通り、傾きが2である直線mがある。直線l, mとx軸との交点をそれぞれA, Bとする。 (1) 直線mの式を求めよ。 (2) 三角形ABPの面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ 上のx座標が3である点Pを通り、傾きが2である直線mがある。直線l, mとx軸との交点をそれぞれA, Bとする。

(1) 直線mの式を求めよ。

(2) 三角形ABPの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点Pの座標を求める。点Pは直線l上の点であり、$x=3$ なので、$y = \frac{1}{2}(3) + \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4$。したがって、点Pの座標は(3, 4)である。

次に、直線mの式を $y = 2x + b$ とおく。点P(3, 4)を通るので、$4 = 2(3) + b$。よって、$4 = 6 + b$ より $b = -2$。

したがって、直線mの式は $y = 2x - 2$。

(2) 点Aの座標を求める。点Aは直線lとx軸の交点なので、$y = 0$ を $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ に代入する。

$0 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ より $\frac{1}{2}x = -\frac{5}{2}$。よって、$x = -5$。したがって、点Aの座標は(-5, 0)である。

点Bの座標を求める。点Bは直線mとx軸の交点なので、$y = 0$ を $y = 2x - 2$ に代入する。

$0 = 2x - 2$ より $2x = 2$。よって、$x = 1$。したがって、点Bの座標は(1, 0)である。

A(-5, 0), B(1, 0) なので、線分ABの長さは $|1 - (-5)| = |1 + 5| = 6$。

三角形ABPの高さは点Pのy座標なので、4。

三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times AB \times 高さ = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$。

3. 最終的な答え

(1) 直線mの式：$y = 2x - 2$

(2) 三角形ABPの面積：12