問題は2つあります。 (1) $|a| = 4$, $|b| = 2$, $\theta = 120^\circ$ のとき、内積 $a \cdot b$ を求める。 (2) $a = (2, -3)$, $b = (-4, 6)$ のとき、内積 $a \cdot b$ と、$a$ と $b$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $|a| = 4$, $|b| = 2$, $\theta = 120^\circ$ のとき、内積 $a \cdot b$ を求める。

(2) $a = (2, -3)$, $b = (-4, 6)$ のとき、内積 $a \cdot b$ と、$a$ と $b$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

内積の定義式 $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ を利用する。

$a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 4 \times 2 \times \cos 120^\circ = 8 \times (-\frac{1}{2}) = -4$

(2)

(1) ベクトルの内積は、それぞれの成分をかけて足し合わせることで求められる。

$a \cdot b = (2 \times (-4)) + (-3 \times 6) = -8 - 18 = -26$

(2)

(2) $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|}$ の公式を利用して $\theta$ を求める。

まず、ベクトルの大きさを求める。

$|a| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|b| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

次に、$\cos \theta$ を計算する。

$\cos \theta = \frac{-26}{\sqrt{13} \times 2\sqrt{13}} = \frac{-26}{2 \times 13} = \frac{-26}{26} = -1$

したがって、$\theta = 180^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $a \cdot b = -4$

(2) (1) $a \cdot b = -26$

(2) $\theta = 180^\circ$