直線 $l: y = x + 1$ があり、$l$ 上の $y$ 座標が $3$ である点を通り、切片が $4$ である直線 $m$ がある。以下の問いに答えます。 (1) 直線 $m$ の式を求めます。 (2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y = x + 1$ があり、$l$ 上の $y$ 座標が $3$ である点を通り、切片が $4$ である直線 $m$ がある。以下の問いに答えます。

(1) 直線 $m$ の式を求めます。

(2) 2直線 $l$ と $m$ と $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の式 $y = x + 1$ に $y = 3$ を代入して、$x$ 座標を求めます。

$3 = x + 1$

$x = 2$

したがって、直線 $m$ は点 $(2, 3)$ を通り、$y$ 切片が $4$ です。直線 $m$ の式を $y = ax + b$ とすると、$b = 4$ です。

点 $(2, 3)$ を通るので、$y = ax + 4$ に代入します。

$3 = 2a + 4$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、直線 $m$ の式は $y = -\frac{1}{2}x + 4$ です。

(2) 直線 $l: y = x + 1$ と直線 $m: y = -\frac{1}{2}x + 4$ の交点の $y$ 座標は $y = 3$ で、$x$ 座標は $x = 2$ です。

直線 $l$ の $y$ 切片は $1$ で、直線 $m$ の $y$ 切片は $4$ です。

したがって、三角形の底辺の長さは $4 - 1 = 3$ です。

三角形の高さは、交点の $x$ 座標である $2$ です。

したがって、三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x + 4$

(2) $3$