(1) 2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)を結ぶ線分ABについて、1:3に外分する点Q($\vec{q}$)の位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。 (2) 点A(4, -2)を通り、$\vec{d}$ = (2, -1)が方向ベクトルである直線について、 (1) 媒介変数tを用いて媒介変数表示せよ。 (2) 媒介変数tを消去した式で表せ。

1. 問題の内容

(1) 2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)を結ぶ線分ABについて、1:3に外分する点Q($\vec{q}$)の位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$を用いて表す。

(2) 点A(4, -2)を通り、$\vec{d}$ = (2, -1)が方向ベクトルである直線について、

(1) 媒介変数tを用いて媒介変数表示せよ。

(2) 媒介変数tを消去した式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABをm:nに外分する点の位置ベクトルは、

$\frac{-m\vec{b}+n\vec{a}}{n-m}$

で表される。

今回はm=1, n=3なので、

$\vec{q}$ = $\frac{-1*\vec{b}+3*\vec{a}}{3-1}$ = $\frac{3\vec{a}-\vec{b}}{2}$ = $\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

(2)

(1) 点(x, y)は、点(4, -2)を通り、方向ベクトル(2, -1)の直線上の点なので、媒介変数tを用いて、

$x = 4 + 2t$

$y = -2 - t$

と表せる。

(2) $y = -2 - t$より、$t = -y - 2$

これを$x = 4 + 2t$に代入すると、

$x = 4 + 2(-y - 2)$

$x = 4 - 2y - 4$

$x = -2y$

$x + 2y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{q}$ = $\frac{3}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

(2)

(1) $x = 4 + 2t$

$y = -2 - t$

(2) $x + 2y = 0$