直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が6である点Pを通り、傾きが2である直線 $m$ がある。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、次の問いに答えよ。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) $\triangle ABP$ の面積を求めよ。（単位は不要）

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ と、直線 $l$ 上の $x$ 座標が6である点Pを通り、傾きが2である直線 $m$ がある。2直線 $l$, $m$ と $x$ 軸との交点をそれぞれA, Bとするとき、次の問いに答えよ。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) $\triangle ABP$ の面積を求めよ。（単位は不要）

2. 解き方の手順

(1) まず、点Pの座標を求める。点Pは直線 $l$ 上にあり、 $x=6$ であるから、 $y = \frac{1}{5}(6) + \frac{4}{5} = \frac{6}{5} + \frac{4}{5} = \frac{10}{5} = 2$ 。よって、点Pの座標は $(6, 2)$ である。

直線 $m$ は、点P$(6, 2)$ を通り、傾きが2であるから、$y - 2 = 2(x - 6)$ 。

これを整理すると、$y = 2x - 12 + 2 = 2x - 10$ 。

したがって、直線 $m$ の式は $y = 2x - 10$ である。

(2) 点Aは直線 $l$ と $x$ 軸との交点であるから、$y = 0$ を $y = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ に代入して、$0 = \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}$ 。

$\frac{1}{5}x = -\frac{4}{5}$ より、$x = -4$ 。よって、点Aの座標は $(-4, 0)$ である。

点Bは直線 $m$ と $x$ 軸との交点であるから、$y = 0$ を $y = 2x - 10$ に代入して、$0 = 2x - 10$ 。

$2x = 10$ より、$x = 5$ 。よって、点Bの座標は $(5, 0)$ である。

$\triangle ABP$ の面積を求める。底辺をABとすると、$AB = |5 - (-4)| = 9$ 。

高さは点Pの $y$ 座標であるから、高さは2。

したがって、$\triangle ABP$ の面積は $\frac{1}{2} \times 9 \times 2 = 9$ 。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x - 10$

(2) 9