$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:2$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。

2. 解き方の手順

まず、点 $P$ が線分 $AD$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD}$ と表せる。$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$ より

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{s}{4}\vec{b}$ ... (1)

次に、点 $P$ が線分 $BC$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$ と表せる。$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA}$ より

$\overrightarrow{OP} = \frac{3t}{5}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ ... (2)

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、(1)と(2)の $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の係数はそれぞれ等しい。

$1-s = \frac{3t}{5}$ ... (3)

$\frac{s}{4} = 1-t$ ... (4)

(4)より $s = 4 - 4t$。これを(3)に代入して

$1 - (4-4t) = \frac{3t}{5}$

$-3 + 4t = \frac{3t}{5}$

$-15 + 20t = 3t$

$17t = 15$

$t = \frac{15}{17}$

これを(4)に代入して

$s = 4 - 4(\frac{15}{17}) = 4 - \frac{60}{17} = \frac{68-60}{17} = \frac{8}{17}$

(1)に $s = \frac{8}{17}$ を代入して

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{8}{17})\vec{a} + \frac{8}{17 \cdot 4}\vec{b} = \frac{9}{17}\vec{a} + \frac{2}{17}\vec{b}$

あるいは、(2)に $t = \frac{15}{17}$ を代入して

$\overrightarrow{OP} = \frac{3 \cdot \frac{15}{17}}{5}\vec{a} + (1-\frac{15}{17})\vec{b} = \frac{9}{17}\vec{a} + \frac{2}{17}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{9}{17}\vec{a} + \frac{2}{17}\vec{b}$