与えられた問題は、空間座標における点やベクトルに関する問題です。具体的には、ある点に関してzx平面、z軸、原点に関して対称な点の座標を求める問題、ある点を通る平面の方程式を求める問題、2点間の距離を求める問題、ベクトルの内積、なす角、そしてベクトルが垂直になるような実数の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、空間座標における点やベクトルに関する問題です。具体的には、ある点に関してzx平面、z軸、原点に関して対称な点の座標を求める問題、ある点を通る平面の方程式を求める問題、2点間の距離を求める問題、ベクトルの内積、なす角、そしてベクトルが垂直になるような実数の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1:

(1) zx平面に関して対称な点は、y座標の符号が変わります。したがって、点(2, 4, -1)のzx平面に関する対称点は(2, -4, -1)です。

(2) z軸に関して対称な点は、x座標とy座標の符号が変わります。したがって、点(2, 4, -1)のz軸に関する対称点は(-2, -4, -1)です。

(3) 原点に関して対称な点は、全ての座標の符号が変わります。したがって、点(2, 4, -1)の原点に関する対称点は(-2, -4, 1)です。

問題2:

(1) 点B(-1, 5, 2)を通り、yz平面に平行な平面の方程式は、x座標が一定となる平面です。したがって、x = -1です。

(2) 平面z = -1に関して点B(-1, 5, 2)と対称な点Cの座標は、z座標に関して対称になります。点Bのz座標は2であり、平面z = -1との距離は2 - (-1) = 3です。点Cのz座標は-1 - 3 = -4となります。x座標とy座標は変わらないので、点Cの座標は(-1, 5, -4)です。

問題3:

2点A(2, 4, -1)とB(-1, -5, 2)の間の距離は、距離の公式を用いて計算します。

$AB = \sqrt{(-1-2)^2 + (-5-4)^2 + (2-(-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 81 + 9} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$

問題4:

(1) ベクトルa = (-1, 2)とベクトルb = (1, 3)の内積は、各成分の積の和で計算します。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (2)(3) = -1 + 6 = 5$

(2) ベクトルa, bのなす角θを求める。$cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$

$cos\theta = \frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{4}$ (または45度)です。

(3) ベクトルb + t*cとベクトルaが垂直になるような実数tの値を求めます。

$\vec{b} + t\vec{c} = (1, 3) + t(-2, 15) = (1-2t, 3+15t)$

$(\vec{b} + t\vec{c}) \cdot \vec{a} = 0$

$(1-2t)(-1) + (3+15t)(2) = 0$

$-1 + 2t + 6 + 30t = 0$

$32t + 5 = 0$

$32t = -5$

$t = -\frac{5}{32}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) (2, -4, -1)

(2) (-2, -4, -1)

(3) (-2, -4, 1)

問題2:

(1) x = -1

(2) (-1, 5, -4)

問題3:

$3\sqrt{11}$

問題4:

(1) 5

(2) $\frac{\pi}{4}$

(3) $-\frac{5}{32}$