三角形ABCと点Pがあり、$7\vec{AP} + 5\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$を満たしている。 (1) $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$として、$\vec{AP}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。 (2) 2直線AP, BCの交点をQとする。BQ:QCおよびAP:PQを求める。 (3) $\triangle ABP$, $\triangle BCP$, $\triangle CAP$の面積の比を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCと点Pがあり、$7\vec{AP} + 5\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$を満たしている。

(1) $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$として、$\vec{AP}$を$\vec{b}$, $\vec{c}$で表す。

(2) 2直線AP, BCの交点をQとする。BQ:QCおよびAP:PQを求める。

(3) $\triangle ABP$, $\triangle BCP$, $\triangle CAP$の面積の比を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$7\vec{AP} + 5\vec{BP} + 3\vec{CP} = \vec{0}$

$7\vec{AP} + 5(\vec{AP} - \vec{AB}) + 3(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$7\vec{AP} + 5\vec{AP} - 5\vec{AB} + 3\vec{AP} - 3\vec{AC} = \vec{0}$

$15\vec{AP} = 5\vec{AB} + 3\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{5\vec{AB} + 3\vec{AC}}{15} = \frac{5\vec{b} + 3\vec{c}}{15} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}$

(2)

点Qは直線AP上にあるので、$\vec{AQ} = k\vec{AP}$となる実数kが存在する。

$\vec{AP} = \frac{5}{15}\vec{AB} + \frac{3}{15}\vec{AC}$ より、$\vec{AQ} = \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{5}\vec{c}$

点Qは直線BC上にあるので、$\vec{AQ} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC} = (1-t)\vec{b} + t\vec{c}$となる実数tが存在する。

したがって、$\frac{k}{3} = 1-t$, $\frac{k}{5} = t$

$\frac{k}{3} + \frac{k}{5} = 1$

$5k + 3k = 15$

$8k = 15$

$k = \frac{15}{8}$

$\vec{AQ} = \frac{15}{8}\vec{AP}$

$\vec{AP} = \frac{8}{15}\vec{AQ}$

$AP:PQ = 8 : (15-8) = 8:7$

$t = \frac{k}{5} = \frac{15}{8} \times \frac{1}{5} = \frac{3}{8}$

$\vec{AQ} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC} = \frac{5}{8}\vec{AB} + \frac{3}{8}\vec{AC}$

$BQ:QC = 3:5$

(3)

$\triangle ABP = \frac{AP}{AQ} \times \frac{AQ}{AC} \times sin(\angle BAC) \times (\frac{1}{2}AB \times AC ) = \frac{AP}{AQ} \times \frac{BQ}{BC} \triangle ABC$

$\triangle BCP : \triangle CAP : \triangle ABP = |\vec{AP} \times \vec{AB}|:|\vec{BP} \times \vec{BC}|: |\vec{CP} \times \vec{CA}|$

$\triangle ABP : \triangle BCP : \triangle CAP = 5 : 7 : 3$

$\frac{\triangle ABP}{\triangle ABC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

$\frac{\triangle BCP}{\triangle ABC} = \frac{7}{15}$

$\frac{\triangle CAP}{\triangle ABC} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}$

(2) $BQ:QC = 3:5$, $AP:PQ = 8:7$

(3) $\triangle ABP : \triangle BCP : \triangle CAP = 5:7:3$