与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には、次の5つの問題があります。 (1) 点 (0, 0), 直線 3x + 4y - 12 = 0 (2) 点 (1, 2), 直線 x - 2y + 8 = 0 (3) 点 (-3, 7), 直線 12x - 5y - 7 = 0 (4) 点 (5, -3), 直線 x = 2 (5) 点 (-2, 1), 直線 y = -3

1. 問題の内容

与えられた点と直線の距離を求める問題です。具体的には、次の5つの問題があります。

(1) 点 (0, 0), 直線 3x + 4y - 12 = 0

(2) 点 (1, 2), 直線 x - 2y + 8 = 0

(3) 点 (-3, 7), 直線 12x - 5y - 7 = 0

(4) 点 (5, -3), 直線 x = 2

(5) 点 (-2, 1), 直線 y = -3

2. 解き方の手順

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

各問題について、この公式を適用して距離を計算します。

(1) 点 (0, 0), 直線 3x + 4y - 12 = 0 の場合：

$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $a = 3$, $b = 4$, $c = -12$ を代入します。

$d = \frac{|3(0) + 4(0) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{12}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5}$

(2) 点 (1, 2), 直線 x - 2y + 8 = 0 の場合：

$x_0 = 1$, $y_0 = 2$, $a = 1$, $b = -2$, $c = 8$ を代入します。

$d = \frac{|1(1) - 2(2) + 8|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 + 8|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

(3) 点 (-3, 7), 直線 12x - 5y - 7 = 0 の場合：

$x_0 = -3$, $y_0 = 7$, $a = 12$, $b = -5$, $c = -7$ を代入します。

$d = \frac{|12(-3) - 5(7) - 7|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{|-36 - 35 - 7|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{|-78|}{\sqrt{169}} = \frac{78}{13} = 6$

(4) 点 (5, -3), 直線 x = 2 の場合：

直線の方程式は x - 2 = 0 と書き換えられます。

$x_0 = 5$, $y_0 = -3$, $a = 1$, $b = 0$, $c = -2$ を代入します。

$d = \frac{|1(5) + 0(-3) - 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \frac{|5 - 2|}{\sqrt{1}} = \frac{3}{1} = 3$

(5) 点 (-2, 1), 直線 y = -3 の場合：

直線の方程式は y + 3 = 0 と書き換えられます。

$x_0 = -2$, $y_0 = 1$, $a = 0$, $b = 1$, $c = 3$ を代入します。

$d = \frac{|0(-2) + 1(1) + 3|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 3|}{\sqrt{1}} = \frac{4}{1} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{12}{5}$

(2) $\sqrt{5}$

(3) $6$

(4) $3$

(5) $4$