三角形ABCがあり、辺ACを1:2に内分する点をP、辺ABを3:1に外分する点をQ、辺BCを3:1に内分する点をRとします。点A, B, C, P, Q, Rの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$とします。 (1) $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表してください。 (2) 辺ABの中点をSとし、その位置ベクトルを$\vec{s}$とします。三角形PSRの重心をGとし、その位置ベクトルを$\vec{g}$とするとき、$\vec{g}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、辺ACを1:2に内分する点をP、辺ABを3:1に外分する点をQ、辺BCを3:1に内分する点をRとします。点A, B, C, P, Q, Rの位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$とします。

(1) $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$をそれぞれ$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表してください。

(2) 辺ABの中点をSとし、その位置ベクトルを$\vec{s}$とします。三角形PSRの重心をGとし、その位置ベクトルを$\vec{g}$とするとき、$\vec{g}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表してください。

2. 解き方の手順

(1) 内分点と外分点の公式を用います。

* 点Pは辺ACを1:2に内分するので、

$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 1\vec{c}}{1+2} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

* 点Qは辺ABを3:1に外分するので、

$\vec{q} = \frac{-1\vec{a} + 3\vec{b}}{3-1} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2}$

* 点Rは辺BCを3:1に内分するので、

$\vec{r} = \frac{1\vec{b} + 3\vec{c}}{3+1} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4}$

(2) 重心の公式を用います。

* 辺ABの中点Sは、$\vec{s} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

* 三角形PSRの重心Gは、

$\vec{g} = \frac{\vec{p} + \vec{s} + \vec{r}}{3}$

$\vec{p}, \vec{s}, \vec{r}$ を代入すると、

$\vec{g} = \frac{\frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3} + \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4}}{3}$

$= \frac{\frac{8\vec{a} + 4\vec{c} + 6\vec{a} + 6\vec{b} + 3\vec{b} + 9\vec{c}}{12}}{3} = \frac{14\vec{a} + 9\vec{b} + 13\vec{c}}{36}$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + \vec{c}}{3}$

$\vec{q} = \frac{-\vec{a} + 3\vec{b}}{2}$

$\vec{r} = \frac{\vec{b} + 3\vec{c}}{4}$

(2)

$\vec{g} = \frac{14\vec{a} + 9\vec{b} + 13\vec{c}}{36}$