直線 $l: y=2x+1$ が与えられています。 (1) 点 $A(3, 2)$ の $l$ に関する対称点 $B$ の座標を求めます。 (2) 直線 $3x+y=11$ の $l$ に関する対称な直線の式を求めます。

1. 問題の内容

直線 $l: y=2x+1$ が与えられています。

(1) 点 $A(3, 2)$ の $l$ に関する対称点 $B$ の座標を求めます。

(2) 直線 $3x+y=11$ の $l$ に関する対称な直線の式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(3, 2)$ の対称点 $B$ を $(x, y)$ とします。

$A$ と $B$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、$M$ の座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$ と表されます。

$M$ が $l$ 上にあることから、

$\frac{2+y}{2} = 2(\frac{3+x}{2}) + 1$

$2+y = 2(3+x)+2$

$2+y = 6+2x+2$

$y = 2x+6$

また、直線 $AB$ と直線 $l$ は直交するので、傾きの積は $-1$ です。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y-2}{x-3}$ であり、直線 $l$ の傾きは $2$ なので、

$\frac{y-2}{x-3} \cdot 2 = -1$

$2(y-2) = -(x-3)$

$2y-4 = -x+3$

$2y = -x+7$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

2つの式 $y = 2x+6$ と $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$ を連立させて解きます。

$2x+6 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$

$4x+12 = -x+7$

$5x = -5$

$x = -1$

$y = 2(-1)+6 = 4$

したがって、$B$ の座標は $(-1, 4)$ です。

(2) 直線 $3x+y=11$ 上の任意の点 $P(s, t)$ を取ります。

$P$ の直線 $l$ に関する対称点を $Q(x, y)$ とします。

$3s+t=11$ が成り立ちます。

$P$ と $Q$ の中点は $(\frac{s+x}{2}, \frac{t+y}{2})$ で、これは直線 $l$ 上にあるので、

$\frac{t+y}{2} = 2(\frac{s+x}{2}) + 1$

$t+y = 2(s+x)+2$

$t+y = 2s+2x+2$

また、$PQ$ は $l$ と直交するので、

$\frac{y-t}{x-s} = -\frac{1}{2}$

$2(y-t) = -(x-s)$

$2y-2t = -x+s$

$s = x+2t-2y$

$t = \frac{1}{2}x - y + \frac{7}{2}$

$s = 2y-x-2$

これらを $3s+t=11$ に代入します。

$3(2y-x-2) + (\frac{1}{2}x-y+\frac{7}{2}) = 11$

$6y-3x-6+\frac{1}{2}x-y+\frac{7}{2} = 11$

$12y-6x-12+x-2y+7 = 22$

$10y-5x-5 = 22$

$10y-5x = 27$

$10y = 5x+27$

$y = \frac{1}{2}x+\frac{27}{10}$

$5x - 10y + 27 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $B(-1, 4)$

(2) $5x-10y+27=0$