点 $A(-5, 7)$ と与えられた直線に関して対称な点 $B$ の座標を求める。問題は2つあり、(1) 直線 $y=x$ に関して、(2) 直線 $2x-3y+18=0$ に関して、点$A$と対称な点$B$の座標をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

点 $A(-5, 7)$ と与えられた直線に関して対称な点 $B$ の座標を求める。問題は2つあり、(1) 直線 $y=x$ に関して、(2) 直線 $2x-3y+18=0$ に関して、点$A$と対称な点$B$の座標をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $y=x$ に関して点 $A(-5, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

直線 $y=x$ に関する対称点の座標は、$x$座標と$y$座標を入れ替えることで得られる。

したがって、点 $B$ の座標は $(7, -5)$ となる。

(2) 直線 $2x-3y+18=0$ に関して点 $A(-5, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を $(p, q)$ とする。

対称の条件から、線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $2x-3y+18=0$ 上にあり、直線 $AB$ は直線 $2x-3y+18=0$ と垂直である。

中点 $M$ の座標は $\left(\frac{-5+p}{2}, \frac{7+q}{2}\right)$ である。

中点 $M$ が直線 $2x-3y+18=0$ 上にあるので、

$$2\left(\frac{-5+p}{2}\right) - 3\left(\frac{7+q}{2}\right) + 18 = 0$$

$$-5+p - \frac{21+3q}{2} + 18 = 0$$

$$2(-5+p) - (21+3q) + 36 = 0$$

$$-10+2p - 21 -3q + 36 = 0$$

$$2p - 3q + 5 = 0 \qquad (1)$$

直線 $AB$ の傾きは $\frac{q-7}{p-(-5)} = \frac{q-7}{p+5}$ である。

直線 $2x-3y+18=0$ の傾きは $\frac{2}{3}$ である。

直線 $AB$ は直線 $2x-3y+18=0$ と垂直なので、

$$\frac{q-7}{p+5} \cdot \frac{2}{3} = -1$$

$$2(q-7) = -3(p+5)$$

$$2q - 14 = -3p - 15$$

$$3p + 2q + 1 = 0 \qquad (2)$$

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1) $\times 2$: $4p - 6q + 10 = 0$

(2) $\times 3$: $9p + 6q + 3 = 0$

足し合わせると、 $13p + 13 = 0$ より $p = -1$

(2)に代入すると、 $3(-1) + 2q + 1 = 0$ より $2q = 2$ なので $q = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(-1, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(7, -5)$

(2) $(-1, 1)$