正四面体の3つの頂点A, B, Cの座標が与えられている。A(2, 4, 0), B(5, 4, 3), C(2, 1, 3) である。このとき、第4の頂点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

正四面体の3つの頂点A, B, Cの座標が与えられている。A(2, 4, 0), B(5, 4, 3), C(2, 1, 3) である。このとき、第4の頂点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

正四面体であるから、各辺の長さはすべて等しい。

まず、辺AB, BC, CAの長さを計算する。

$AB = \sqrt{(5-2)^2 + (4-4)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$BC = \sqrt{(2-5)^2 + (1-4)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (4-1)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

したがって、確かに正四面体である。

D(x, y, z)とおく。

DA = DB = DC = $3\sqrt{2}$でなければならない。

$DA^2 = (x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-0)^2 = 18$

$DB^2 = (x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-3)^2 = 18$

$DC^2 = (x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 18$

(1) $(x-2)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 18$

(2) $(x-5)^2 + (y-4)^2 + (z-3)^2 = 18$

(3) $(x-2)^2 + (y-1)^2 + (z-3)^2 = 18$

(2) - (1):

$(x-5)^2 - (x-2)^2 + (z-3)^2 - z^2 = 0$

$x^2 - 10x + 25 - (x^2 - 4x + 4) + z^2 - 6z + 9 - z^2 = 0$

$-6x + 21 - 6z + 9 = 0$

$-6x - 6z + 30 = 0$

$x + z = 5$

$z = 5 - x$

(3) - (1):

$(y-1)^2 - (y-4)^2 + (z-3)^2 - z^2 = 0$

$y^2 - 2y + 1 - (y^2 - 8y + 16) + z^2 - 6z + 9 - z^2 = 0$

$6y - 15 - 6z + 9 = 0$

$6y - 6z - 6 = 0$

$y - z = 1$

$y = z + 1 = 5 - x + 1 = 6 - x$

(1)に代入:

$(x-2)^2 + (6-x-4)^2 + (5-x)^2 = 18$

$(x-2)^2 + (2-x)^2 + (5-x)^2 = 18$

$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 + x^2 - 10x + 25 = 18$

$3x^2 - 18x + 33 = 18$

$3x^2 - 18x + 15 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

$(x-5)(x-1) = 0$

$x = 5$ or $x = 1$

$x = 5$のとき:

$z = 5 - 5 = 0$

$y = 6 - 5 = 1$

D(5, 1, 0)

$x = 1$のとき:

$z = 5 - 1 = 4$

$y = 6 - 1 = 5$

D(1, 5, 4)

3. 最終的な答え

D(5, 1, 0)またはD(1, 5, 4)