問題は、以下の3つの直線の方程式を求める問題です。 (1) 点(1, -3)を通り、直線 $4x + 5y = 2$ に平行な直線 (2) 原点(0, 0)を通り、直線 $y = -3x - 1$ に垂直な直線 (3) 点(3, 7)を通り、2点(1, 5), (4, 4)を通る直線に垂直な直線

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの直線の方程式を求める問題です。

(1) 点(1, -3)を通り、直線 $4x + 5y = 2$ に平行な直線

(2) 原点(0, 0)を通り、直線 $y = -3x - 1$ に垂直な直線

(3) 点(3, 7)を通り、2点(1, 5), (4, 4)を通る直線に垂直な直線

2. 解き方の手順

(1) 点(1, -3)を通り、直線 $4x + 5y = 2$ に平行な直線

直線 $4x + 5y = 2$ を変形すると、 $y = -\frac{4}{5}x + \frac{2}{5}$ となるので、傾きは $-\frac{4}{5}$ である。

平行な直線の傾きは等しいので、求める直線の傾きも $-\frac{4}{5}$ である。

点(1, -3)を通る傾き $-\frac{4}{5}$ の直線の方程式は、

$y - (-3) = -\frac{4}{5}(x - 1)$

$y + 3 = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4}{5} - 3$

$y = -\frac{4}{5}x + \frac{4 - 15}{5}$

$y = -\frac{4}{5}x - \frac{11}{5}$

両辺に5をかけて整理すると、

$5y = -4x - 11$

$4x + 5y = -11$

(2) 原点(0, 0)を通り、直線 $y = -3x - 1$ に垂直な直線

直線 $y = -3x - 1$ の傾きは-3である。

垂直な直線の傾きは、元の直線の傾きの逆数の符号を反転させたものであるから、

求める直線の傾きは $\frac{1}{3}$ である。

原点(0, 0)を通る傾き $\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、

$y = \frac{1}{3}x$

(3) 点(3, 7)を通り、2点(1, 5), (4, 4)を通る直線に垂直な直線

2点(1, 5), (4, 4)を通る直線の傾きは、

$\frac{4 - 5}{4 - 1} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

この直線に垂直な直線の傾きは、3である。

点(3, 7)を通る傾き3の直線の方程式は、

$y - 7 = 3(x - 3)$

$y - 7 = 3x - 9$

$y = 3x - 9 + 7$

$y = 3x - 2$

3. 最終的な答え

(1) $4x + 5y = -11$

(2) $y = \frac{1}{3}x$

(3) $y = 3x - 2$