直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$座標が2である点Aがある。点Aを通り、傾きが-1である直線 $m$ があるとき、次の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求める。 (2) 2直線 $l$ と $m$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$座標が2である点Aがある。点Aを通り、傾きが-1である直線 $m$ があるとき、次の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求める。

(2) 2直線 $l$ と $m$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、点Aの座標を求める。直線 $l$ の式 $y = 2x$ に $x = 2$ を代入すると、

$y = 2 \times 2 = 4$

よって、点Aの座標は(2, 4)である。

次に、直線 $m$ の式を求める。直線 $m$ は傾きが-1で、点A(2, 4)を通る。直線の式を $y = ax + b$ とおくと、傾きが-1なので $a = -1$。したがって、$y = -x + b$。点A(2, 4)を通るので、

$4 = -2 + b$

$b = 6$

よって、直線 $m$ の式は $y = -x + 6$である。

(2)

2直線 $l$ と $m$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

直線 $l$ は $y = 2x$ なので、$y$軸との交点は(0, 0)。

直線 $m$ は $y = -x + 6$ なので、$y$軸との交点は(0, 6)。

したがって、三角形の高さは6である。

三角形の底辺は、2直線 $l$ と $m$ の交点Aの $x$ 座標なので、2である。

よって、三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 6$

(2) 6