三角形ABCにおいて、$a:b = 1:3$、$B = 60^\circ$のとき、(1) $\sin A$の値を求めよ。(2) $c=2$であるとき、$a$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a:b = 1:3$、$B = 60^\circ$のとき、(1) $\sin A$の値を求めよ。(2) $c=2$であるとき、$a$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin A$の値を求める。

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$が成り立つ。

$a:b = 1:3$より、$b=3a$である。

$B=60^\circ$より、$\sin B = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$である。

したがって、$\frac{a}{\sin A} = \frac{3a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$となる。

$a \neq 0$なので、両辺を$a$で割ると、$\frac{1}{\sin A} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。

$\frac{1}{\sin A} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$となる。

よって、$\sin A = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$。

(2) $c=2$であるとき、$a$を求める。

余弦定理より、$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$が成り立つ。

$b=3a$, $c=2$, $B=60^\circ$なので、$\cos B = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$である。

したがって、$(3a)^2 = a^2 + 2^2 - 2 \cdot a \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}$となる。

$9a^2 = a^2 + 4 - 2a$

$8a^2 + 2a - 4 = 0$

$4a^2 + a - 2 = 0$

$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$

$a>0$より、$a = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $a = \frac{-1+\sqrt{33}}{8}$