(ア) 点(1,2)において、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する接線の方程式を求めよ。 (イ) 点(1,3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(ア) 点(1,2)において、円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する接線の方程式を求めよ。

(イ) 点(1,3)から円 $x^2 + y^2 = 5$ に引いた接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) 円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられる。

この問題の場合、$r^2 = 5$ であり、接点が $(1,2)$ なので、接線の方程式は $1\cdot x + 2\cdot y = 5$、つまり $x + 2y = 5$ となる。

(イ) 点(1,3)を通る直線を $y-3 = m(x-1)$、つまり $y = mx - m + 3$ とおく。

これが円 $x^2 + y^2 = 5$ に接するための条件は、円の中心(0,0)とその直線までの距離が円の半径 $\sqrt{5}$ に等しいことである。

点と直線の距離の公式より、

$\frac{|m(0) - (0) - m + 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{5}$

$\frac{|-m+3|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{5}$

両辺を2乗して

$(-m+3)^2 = 5(m^2+1)$

$m^2 - 6m + 9 = 5m^2 + 5$

$4m^2 + 6m - 4 = 0$

$2m^2 + 3m - 2 = 0$

$(2m - 1)(m + 2) = 0$

$m = \frac{1}{2}, -2$

$m = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + 3 = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

$m = -2$ のとき、$y = -2x + 2 + 3 = -2x + 5$

3. 最終的な答え

(ア) $x + 2y = 5$

(イ) $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ と $y = -2x + 5$、つまり $x - 2y + 5 = 0$ と $2x + y - 5 = 0$