与えられた三角形ABCにおいて、角A = 60度、角C = 45度、辺ABの長さが4であるとき、辺BCの長さaを正弦定理を用いて求める問題です。空欄(1), (2), (3), (4)を埋める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた三角形ABCにおいて、角A = 60度、角C = 45度、辺ABの長さが4であるとき、辺BCの長さaを正弦定理を用いて求める問題です。空欄(1), (2), (3), (4)を埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を適用します。正弦定理より、各辺の長さとその対角の正弦の比は等しくなります。

$\frac{a}{\sin{60^\circ}} = \frac{4}{\sin{45^\circ}}$

したがって、(1)は$sin 45^\circ$になります。

次に、aについて解きます。

$a = \frac{4}{\sin{45^\circ}} \times \sin{60^\circ}$

なので、(2)は$\frac{4}{\sin{45^\circ}}$になります。

$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$であり、$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、

$a = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{6}}{2} = 2\sqrt{6}$

したがって、$a = \frac{4}{\sin{45^\circ}} \times \sin{60^\circ}$ を計算すると、

$a = 4 \div \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{2}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{ \sqrt{2} \sqrt{2}} = 4 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 2 \sqrt{6}$

(3)は$\sin{60^\circ}$なので$\frac{\sqrt{3}}{2}$

(4)は$2 \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 45^\circ$

(2) $\frac{4}{\sin{45^\circ}}$

(3) $\sin 60^\circ$

(4) $2\sqrt{6}$