三角形OABにおいて、以下の条件を満たす点Pの存在範囲を求める。 (1) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$ (2) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (s+t)\overrightarrow{OB}$, $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、以下の条件を満たす点Pの存在範囲を求める。

(1) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$

(2) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (s+t)\overrightarrow{OB}$, $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$, $1 \le s \le 2$, $0 \le t \le 1$

$s = 1$ のとき、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ ($0 \le t \le 1$). これは、点Aから線分OB方向に平行に長さOBまでの線分を表す。これを線分ACとする。

$s = 2$ のとき、$\overrightarrow{OP} = 2\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ ($0 \le t \le 1$). これは、点$A' = 2A$から線分OB方向に平行に長さOBまでの線分を表す。これを線分$A'C'$とする。

点Pは、線分ACと線分$A'C'$の間を埋め尽くす平行四辺形$ACC'A'$の内部と周上にある。ここで、$A'=2A$, $C = A+B$, $C' = 2A+B$。

(2)

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + (s+t)\overrightarrow{OB}$, $0 \le s \le 1$, $0 \le t \le 1$

$\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OB} = s(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + t\overrightarrow{OB}$

ここで、$s' = s$, $t' = t$ とおくと、

$\overrightarrow{OP} = s'(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + t'\overrightarrow{OB}$, $0 \le s' \le 1$, $0 \le t' \le 1$

$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$ とする。

$\overrightarrow{OP} = s'\overrightarrow{OC} + t'\overrightarrow{OB}$

$s' = 0$ のとき、$\overrightarrow{OP} = t'\overrightarrow{OB}$ ($0 \le t' \le 1$). これは、線分OBを表す。

$s' = 1$ のとき、$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t'\overrightarrow{OB}$ ($0 \le t' \le 1$). これは、点Cから線分OB方向に平行に長さOBまでの線分を表す。

したがって、点Pの存在範囲は、三角形OCBの内部と周上である。

3. 最終的な答え

(1) 点Pの存在範囲は、点$A'=2A$, $C = A+B$, $C' = 2A+B$としたとき、平行四辺形$ACC'A'$の内部と周上である。

(2) 点Pの存在範囲は、$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$としたとき、三角形OCBの内部と周上である。