$\alpha$ の動径が第2象限, $\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin (\alpha - \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限, $\beta$ の動径が第1象限にあり、$\sin \alpha = \frac{3}{5}$, $\cos \beta = \frac{5}{13}$ のとき、$\sin (\alpha - \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ の値を求める。$\alpha$ は第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ である。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

したがって、$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

次に、$\sin \beta$ を求める。$\beta$ は第1象限の角なので、$\sin \beta > 0$ である。

$\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$ より、

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$

したがって、$\sin \beta = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

$\sin (\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$= (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) - (-\frac{4}{5})(\frac{12}{13})$

$= \frac{15}{65} + \frac{48}{65}$

$= \frac{63}{65}$

3. 最終的な答え

$\sin (\alpha - \beta) = \frac{63}{65}$